東大寺2015年度算数 大問1⑶

「東大寺の入試問題を解いてみた」シリーズ。今回は２０１５年度大問1⑶。
数を扱う問題で、これも難しそうです。

和が100となる2けたの整数を２個選んでかけたところ4けたの整数ができて，この整数の千の位の数と百の位の数は等しく，また，十の位の数と一の位の数も等しくなりました。このような２個の整数の組は２組あります。それらを，解答欄の（　，　）に例えば（30，70）のように，（小さい方の整数，大きい方の整数）の形で答えなさい。

和が100となる2けたの整数の組は45組あります。（10＋90，11＋89，12＋88，…，49＋51）
この45組をしらみつぶしに調べても答えは出せますが、テスト時間中に正解にたどり着くのは難しそうです。
そこで、もとの2数をA，B，千の位と百の位の数をa，十の位と一の位の数をbとして式にしてみましょう。
A×B＝1000×a＋100×a＋10×b＋1×b　…①
A＋B＝100　…②
①は1100×a＋11×b＝11×(100×a＋1×b)となり、11の倍数になります。
ですからAまたはBは必ず11の倍数です。
ここからは調べていきましょう。
A＝11のとき，B＝89　A×Bは3けた
A＝22のとき，B＝78　A×B＝1716
A＝33のとき，B＝67　A×B＝2211
A＝44のとき，B＝56　A×B＝2464
A＝55のとき，B＝45　A×B＝2475
A＝66のとき，B＝34　A×B＝2244
A＝77のとき，B＝23　A×B＝1771
A＝88のとき，B＝12　A×B＝1056
以上から、こたえは（33，67），（34，66）
ま、けっこう面倒でした。

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