2018年度東大寺学園算数の入試問題の中でも、大問４は特に長い。
見た瞬間、「心が折れそう・・・」と思ってしまう。
それでも、入試本番ではこのうちの何問かは正解しないと合格から遠ざかる。
がんばれ！受験生！
とまぁ、それはともかく、とにかく長いその問題を見ていこう。
白石○と黒石●を何個か横1列に並べて，次のルールで得点を決めました。○がちょうど2個続いた部分があればその部分に1点，ちょうど3個続いた部分があればその部分に2点，ちょうど4個続いた部分があればその部分に3点，…と決めて，●に関しても，●がちょうど2個続いた部分があればその部分に1点，ちょうど3個続いた部分があればその部分に2点，ちょうど4個続いた部分があればその部分に3点，…と決めて，その合計を得点とします。例えば，
並べ方 得点
○●○ ｜ 0点
○○● ｜ 1点
●●●○ ｜ 2点
○○●● ｜ 1＋1＝2点
○○○○○ ｜ 4点
○○○○●●●○○ ｜ 3＋2＋1＝6点
というように得点が決まります。次の問いに答えなさい。
ようやくルールの説明終了。ふーっと一息ついて、頭の中を整理して、問題を解いていきましょう。
⑴① ○と●を合計3個並べるときの並べ方は全部で8通りありますが，それらの中で真ん中の石の色だけが異なる並べ方を表のように組にしました。ア組，イ組，ウ組，エ組それぞれについて，2つの並べ方の得点の差を答えなさい。
組 || ア組 || イ組 || ウ組 || エ組 |
並べ方||○○○||○○●||●○○||●○●|
得点 || || || || |
並べ方||○●○||○●●||●●○||●●●|
得点 || || || || |
これは調べるだけです。
ア組 2－0＝2点 イ組 1－1＝0点 ウ組 1－1＝0点 エ組 2－0＝2点
② ○と●を合計6個並べて得点を求めた後，左から2番目に並んでいる石と右から2番目に並んでいる石を互いに交換しました。最初の得点と石を交換した後の並べ方の得点との差としてありえるものをすべて答えなさい。
左側3個と右側3個に分けて考えるといいでしょう。
①で考えたように，3個の真ん中の石の色が変われば、2点増える(＋2)，変わらない(0)，2点減る(－2)のどれかです。
(左，右)で組み合わせを考えたら、
（－2，－2）→ 4点減る （－2，0）→ 2点減る （－2，＋2）→ 変わらない
（0，－2）→ 2点減る （0，0）→ 変わらない （0，＋2）→ 2点増える
（＋2，－2）→ 変わらない （＋2，0）→ 2点増える （＋2，＋2）→ 4点増える
以上から、得点の差としてありえるものは0点，2点，4点
⑵ 左端の石と右端の石がどちらも○であるように，○と●を合計8個並べました。そのときの得点としてあり得るものをすべて答えなさい。
並べる場所に記号を入れておきましょう。○アイウエオカ○
すべて白 ○○○○○○○○ → 7点
黒が1個 ○●○○○○○○ → 5点
●がア～カのどこに来ても5点
黒が2個 ○●●○○○○○ → 5点
○●○●○○○○ → 3点
○●○○●○○○ → 3点
○○●●○○○○ → 5点
○○●○●○○○ → 3点
○○●○○●○○ → 3点
5点か3点になる。
黒が3個 ○●●●○○○○ → 5点
○●●○●○○○ → 3点
○●●○○●○○ → 3点
○●○●○●○○ → 1点
5点か3点か1点になる。
黒が4個 ○●●●●○○○ → 5点
○●●●○●○○ → 3点
○●●○●●○○ → 3点
○●○●○●●○ → 1点
黒をこれ以上増やしても出てくるのは3点か5点
よって、得点としてあり得るものは、1点，3点，5点，7点
⑶ 左端の石が○であるように，○と●を合計10個並べて得点を求めた後，右端の石以外の石の中から2個の石を選んで互いに交換したところ，得点が3点増加し偶数の得点となりました。そこからさらに左端の石と右端の石を互いに交換しましたが，そのとき得点は変化しませんでした。
① 最初に並べたときの右端の石の色を答えなさい。
② 最初に並べたときの右から2番目の石の色を答えなさい。
③ 最初に並べたときの得点としてありえるもののうち，最も高いものを答えなさい。
④ 最初に並べたときの得点が，③のときの得点だったとすると，最初に並べたときの並べ方としてありえるものは全部で何通りありますか。
① 条件を考えてみましょう。
○□□□□□□□□□の10個（□は○か●）で、得点は奇数
両端が○の場合、得点は奇数 （9点，7点，…）
左はしが○で右端が●の場合、得点は偶数
よって右端は○、つまり「白」
② 2個交換後に偶数になったということは左はしが●になった
はじめ ○□□□□□□□□○ 奇数
１回目交換後 ●□□□□□□□□○ 偶数，＋3点
このとき、左はしは、○●が●●になった（＋1）
（これ以外に、真ん中の6個は〇●〇が○○○になった(＋2)）
●●□□□□□□△○ …ア
（このときには、真ん中の□のところには○が最低3個）
２回目交換後 ○●□□□□□□△● 変化なし …イ
アとイで点数が同じということは、△が●だということになる。
よって答えは「黒」
③ ここまでで初めの並びを考えると、
○●□□□□□□●○
もともとは、□のうち○が最低2個、しかも○と○の間には●が入っている！
なので、例えば○●●●○●○●●○で、3点
④ ○●△△△△△△●○の△を考える。
○2個のとき 4通り
○3個のとき ○ ○ ○ → ○●○●○●○●●○で最高点ならず
○ ○○ → ○●○●○○●●●○で6通り
○4個のとき ○ ○○○→4通り、○○ ○○→2通りで合計6通り
○ ○○ ○は最高点にならず、残念。
○5個のとき ○ ○○○○→2通り、○○ ○○○→2通り、2＋2＝4通り
以上から、4＋6＋6＋4＝20通りあると考えられる。
やっと終わった。こんなの、制限時間内にやらせる問題じゃないね。
じっくり考えさせるいい問題なんだけど、限度ってものがあるのじゃないか？
というわけで、次の記事で、2018年度東大寺算数入試問題を総括するよ。
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