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四天王寺中学校2020年度大問5は場合の数の問題
2020年度の四天王寺算数の入試問題は、全般的に対処しやすい問題が多かったように思います。しかし、今回取り上げる大問5はその中では少し手こずる問題でしょう。
この操作を3回くり返した後の硬貨の表裏について考えます。
例えば，さいころの目が，順に2，3，2のとき，硬貨の表裏は図のように変化し，「裏裏裏表表表」になります。
① さいころの目が，順に3，6，1のとき，表は何枚になりますか。
② 6枚の硬貨が「裏裏裏裏裏表」になりました。このとき，考えられるさいころの目の出方は何通りありますか。
③ 6枚の硬貨のうち，裏は5枚になりました。このとき，考えられるさいころの目の出方は何通りありますか。
➤➤➤解説
①は書かれた通り操作して求めれば問題ありません。
（はじめ）表表表表表表
（１回目）裏裏裏表表表
（２回目）表表表裏裏裏
（３回目）裏表表裏裏裏
以上より，表は２枚
② 表裏の決まり方を考えておきます。
偶数回裏返す → 表 （0回，2回）
奇数回裏返す → 裏 （1回，3回）
これをもとに考えましょう。
⑴⑵⑶⑷⑸⑹
裏裏裏裏裏表
⑴の硬貨は必ず３回裏返される
⑹の硬貨は0回または２回裏返される
⑵～⑸は１回か３回
※ ただし、右の数は左の数より大きくならない
以上から、⑴⑵⑶⑷⑸⑹の裏返された回数と出た目の組み合わせは
㋐ 3，1，1，1，1，0 → 1，1，5
㋑ 3，3，1，1，1，0 → 2，2，5
㋒ 3，3，3，1，1，0 → 3，3，5
㋓ 3，3，3，3，1，0 → 4，4，5
㋔ 3，3，3，3，3，0 → 5，5，5
㋕ 3，3，3，3，3，2 → 5，6，6
㋔以外は３通りずつ，㋔は１通りなので
答えは 3×5＋1＝１６通り
③ 裏が５枚になるのは次の５通り
㋐ 裏裏裏裏裏表
㋑ 裏裏裏裏表裏
㋒ 裏裏裏表裏裏
㋓ 裏裏表裏裏裏
㋔ 裏表裏裏裏裏
㋐は②より16通りでした。
㋑は3，3，3，3，2，1 → 4，5，6
㋒は3，3，3，2，1，1 → 3，4，6
㋓は3，3，2，1，1，1 → 2，3，6
㋔は3，2，1，1，1，1 → 1，2，6
それぞれさいころの目の出方は6通り（3×2×1）あるので
6×4＝24通り。
これと㋐の16通りを合わせると，答えは40通りとなりますね。
ここまでで出てきたキーワード
場合の数の問題らしく、3個の数字の順列（並び方）を使います。
ただし、この問題では、それ以前に、条件の読み取りと「それぞれの硬貨の表裏の決まり方」を先に吟味しておかないといけません。
条件の読み取りの際、左端の硬貨は必ず3回とも裏返されることも押さえておきましょう。
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