四天王寺中学校2020年度大問5を解いてみよう

四天王寺中学校2020年度大問5は場合の数の問題

2020年度の四天王寺算数の入試問題は、全般的に対処しやすい問題が多かったように思います。しかし、今回取り上げる大問5はその中では少し手こずる問題でしょう。

10円硬貨が6枚あり,机の上に表を上にして横一列に並べます。1個のさいころを投げて,出た目と同じ枚数だけ左から順に硬貨を裏返す操作をします。
この操作を3回くり返した後の硬貨の表裏について考えます。
例えば,さいころの目が,順に2,3,2のとき,硬貨の表裏は図のように変化し,「裏裏裏表表表」になります。

① さいころの目が,順に3,6,1のとき,表は何枚になりますか。
② 6枚の硬貨が「裏裏裏裏裏表」になりました。このとき,考えられるさいころの目の出方は何通りありますか。
③ 6枚の硬貨のうち,裏は5枚になりました。このとき,考えられるさいころの目の出方は何通りありますか。

①は書かれた通り操作して求めれば問題ありません。
(はじめ)表表表表表表
(1回目)裏裏裏表表表
(2回目)表表表裏裏裏
(3回目)表表裏裏裏
以上より,表は2枚

② 表裏の決まり方を考えておきます。
偶数回裏返す →  (0回,2回)
奇数回裏返す →  (1回,3回)
これをもとに考えましょう。
⑴⑵⑶⑷⑸⑹
裏裏裏裏裏
⑴の硬貨は必ず3回裏返される
⑹の硬貨は0回または2回裏返される
⑵~⑸は1回か3回
※ ただし、右の数は左の数より大きくならない
以上から、⑴⑵⑶⑷⑸⑹の裏返された回数と出た目の組み合わせは
㋐ 3,1,1,1,1,0 → 1,1,5
㋑ 3,3,1,1,1,0 → 2,2,5
㋒ 3,3,3,1,1,0 → 3,3,5
㋓ 3,3,3,3,1,0 → 4,4,5
㋔ 3,3,3,3,3,0 → 5,5,5
㋕ 3,3,3,3,3,2 → 5,6,6
㋔以外は3通りずつ,㋔は1通りなので
答えは 3×5+1=16通り

③ 裏が5枚になるのは次の5通り
㋐ 裏裏裏裏裏
㋑ 裏裏裏裏
㋒ 裏裏裏裏裏
㋓ 裏裏裏裏裏
㋔ 裏裏裏裏
㋐は②より16通りでした。
㋑は3,3,3,3,2,1 → 4,5,6
㋒は3,3,3,2,1,1 → 3,4,6
㋓は3,3,2,1,1,1 → 2,3,6
㋔は3,2,1,1,1,1 → 1,2,6
それぞれさいころの目の出方は6通り(3×2×1)あるので
6×4=24通り。
これと㋐の16通りを合わせると,答えは40通りとなりますね。

ここまでで出てきたキーワード

場合の数の問題らしく、3個の数字の順列(並び方)を使います。
ただし、この問題では、それ以前に、条件の読み取りと「それぞれの硬貨の表裏の決まり方」を先に吟味しておかないといけません。

条件の読み取りの際、左端の硬貨は必ず3回とも裏返されることも押さえておきましょう。

 

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