「東大寺の算数を解いてみた」シリーズ。
2014年度大問5の立体図形の問題です。
けっこう難度が高い問題ですから、心してかかりましょう。ただし、取れる問題もあるので、それは絶対逃しちゃだめですよ。
右の図のようなAB＝2cm，AD＝3cm，AE＝4cmの直方体ABCD－EFGHがあります。このとき，次の問いに答えなさい。
⑴ 点QがCH上を自由に動くとき，AQをAR：RQ＝2：1に分ける点Rが動くことができる部分の長さは，CHの何倍ですか。
図のように、AR：RQは常に2：1なので、点QがCH上を動いていくと、それに平行に点Rも移動していきます。
このとき、三角形ACHと図の三角形AR1R3は相似で、相似比は2：3なので、R1R3：CH＝2：3
となるので、点Rが動くことができる部分の長さは，CHの\(\frac{2}{3}\)倍となります。
⑵ 点PはAF上を自由に動き，点Qは点Pの動きと無関係にCH上を自由に動きます。PQをPR：RQ＝2：1に分ける点をRとするとき，点Rが動くことのできる範囲は，どのような図形になりますか。最も適切な名称で答えなさい。また，その図形の面積を求めなさい。
これはなかなか厳しい問題です。
見取り図に、先に挙げたような図を描いて考えようとしても、正確なところがさっぱりわからないのではないでしょうか。
ですが、まずは作業してみます。
ポイントは一方の点を止めて考えること。
ア：PをAに固定し、Qだけ動かせばRは図のR1R2上を動きます。
イ：PをFに固定し、Qだけ動かせばRは図のR3R4上を動きます。
ウ：QをCに固定し、Pだけ動かせばRは図のR1R3上を動きます。
エ：QをHに固定し、Pだけ動かせばRは図のR2R4上を動きます。
ですから、点Rは図の色をつけた四角形R1R2R4R3の周囲とその内部を動くことができるはずです。
ところがここで大問題！！
この四角形は向かい合った辺が平行であることは分かりますが、果たしてそれは「平行四辺形」なのか「長方形」なのか、この段階ではさっぱり分かりません。
そこで、2：1に注目します。
Rは常にPQを2：1に分ける点なので、この図形を真上から見たとき、Rの存在できる場所がはっきりします。
上の図から、Rは直方体の2つの向かい合った面ABFEとDCGHからの距離が2：1になる長方形の面上にある（もちろん、面ABFEともDCGHとも平行な面）ことが分かります。
そこで、面DCGH側からこの立体を見て、求めたい図形の形状と面積を求めましょう。
R1，R2，R3，R4をふくむ面で切断した面はたて2cm，横4cmの長方形で、色をつけた部分の形状は平行四辺形。
面積は長方形から4つの三角形を引いて求めます。
2×4－4×\(\frac{2}{3}\)×2×\(\frac{2}{3}\)÷2×2－4×\(\frac{1}{3}\)×2×\(\frac{1}{3}\)÷2×2＝\(\frac{32}{9}\)cm2
⑶① 三角すいACFHの体積を求めなさい。ただし，三角すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求めることができます。
図の三角すいで、体積は2×3÷2×4÷3＝4cm3
② 三角すいACFHと三角すいBDEGの共通部分（どちらの三角すいにも含まれている部分）の体積を求めなさい。
図を描いて考えますが、注目するのは「交点」です。
この2つの三角すいの辺が、もとの直方体の6つの面上で交わります。
この6つの点をつないでできる立体が、2つの三角すいの共通部分になります。
この立体は、底面を面アイウエとし，高さをオカとする八面体となります。
面アイウエの面積は長方形ADHEの半分なので、3×4÷2＝6cm2、高さオカはABと同じで2cm
よって体積は、6×2÷3＝4cm3です。
そして問題はまだ続きます。いい加減にしてほしい、と思ってしまいましたが…
⑷ ⑵で求めた図形のうち⑶の②の立体に含まれている部分の面積を求めなさい。
三角形ACHと三角形アイオは同じ面にある。
これに⑵のR1R2をかいて交点S，Tを求めてみよう。
R1S：ST：TR2＝1：2：1となる。
同様にR3R4も2点U，VでR3U：UV：VR4＝1：2：1となる。
だから、求める面積は四角形STVUになり、これは⑵の面積の\(\frac{2}{1＋2＋1}\)＝\(\frac{1}{2}\)なので、\(\frac{32}{9}\)×\(\frac{1}{2}\)＝\(\frac{16}{9}\)cm2（次の図も参照。）
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