東大寺2014年度算数 大問4

「東大寺の算数を解いてみた」シリーズ。
今回は、円周上にある点が対称移動していく問題で、場合の数の問題です。
規則が発見できなければ、とにかく作業するしかないかも。
ま、それでも⑴と⑵は何とかなるはず。
ともかく、問題を見てみましょう。

右の図のように点Oを中心とする円と，その円周を12等分した点AからLまでがあります。点Pと直線ℓは赤と青の2種類のスイッチと連動して動くものとします。
・最初，点Pは点Aにあり，直線ℓは直線BHと一致している。
・赤のスイッチを押すと，直線ℓを対称の軸として，点Pは対応する点に動く。
・青のスイッチを押すと，直線ℓが点Oを中心に時計回りに30°回転した後，直線ℓを対称の軸として，点Pは対応する点に動く。
たとえば，赤青青とスイッチを押すと，点PはA→C→C→Eと動きます。（注：右の→の上に，順に赤,青，青と記入されています。）このとき，次の問いに答えなさい。

ルールは分かったでしょうか？
そんなに複雑な動きではないようです。

⑴　2回スイッチを押した後，点Pはどの点にありますか。ありえるすべての点を答えなさい。

2回スイッチを押す方法は、「赤赤」「赤青」「青赤」「青青」の4通りですから、順に調べましょう。
➊赤赤の場合
A→C→AともとのAに戻ります。
❷赤青の場合
A→C→(ここでℓが回転)→(ℓがCと重なったので)→Cから動きません。
❸青赤の場合
A→(ℓが回転)→E→A　(もとに戻る)
❹青青の場合
A→(ℓが回転)→E→(ℓが回転，ℓはJDに重なる)→C
以上から、答えはA，C

⑵　1回目に赤のスイッチを押し，合計5回スイッチを押した後，点Pが点Gにあるようなスイッチの押し方をすべて答えなさい。答えは「赤青青赤赤」のように答えなさい。

赤から始めて、5回すべて調べ倒すというやり方で、力ずくで答えを出しても構いません。
ただしこれだと、次の⑶には対応できないので、どういうルールで点が移動していくかは探っておかないといけないですね。
⑴をヒントに考えてみましょう。
⑴で「赤赤」「青赤」ではもとの場所に戻りました。また「赤青」「青青」では2つ進んでいます。
5回でGになるということは、Aから6つ進んでいることになります。
最初が赤でCに行きました。あと4回で4つ進めばいいですね。
Cから「赤青」、「青青」から2つえらべば、4回で4つ進んでGに行きます。
　　「赤赤青赤青」「赤赤青青青」「赤青青赤青」「赤青青青青」
たぶんこれですべてです。

⑶　13回スイッチを押した後，点Pが点Eにあるようなスイッチの押し方は全部で何通りありますか。

数え上げるのは諦めて、⑵で考えたルールを使ってみましょう。
2回分を1セットとして考えたいので、最初の1回をまず考えます。
ア：1回目が赤の場合
　Cに来ていて、残り6セット。
　あと2つ進めばいいので、進まないセット[×]を5つ、進むセット[○]を1つ使って順番に並べます。
　[×][×][×][×][×][○]
　それぞれセットの選び方は2通りで、[○]をどこに置くかで6通り選べるので、
　2×2×2×2×2×2×6＝384通り
イ：1回目が青の場合
　Eに来ていて，残り6セット。
　全く進まないか、12進めばいい。
　[×][×][×][×][×][×]　2×2×2×2×2×2＝64通り
　[○][○][○][○][○][○]　2×2×2×2×2×2＝64通り
アとイを合計すると、384＋64×2＝512通り

手間をかけてきちんと調べていく方法で⑴、⑵の正解を目指すのも合格するには悪い方法ではありません。ですが、少し考えて今回説明したとき方に思い至ったら、ぜひ計算で答えを求めることにチャレンジしたほしい、そんな問題でした。

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