東大寺の2018年度大問1の⑶は立体図形の問題です。
さっそく見てみましょう。
立体㋐は各面の対角線（例えばAB）の長さが2cmの立方体，立体㋑は4つの面がすべて1辺の長さが2cmの正三角形である三角すい，立体㋒は底面が1辺の長さが2cmの正方形で，4つの側面がすべて1辺の長さが2cmの正三角形である四角すいです。立体㋑の体積，立体㋒の体積は，立体㋐の体積のそれぞれ何倍ですか。
立方体の体積は求められないし、一見すると難しく思えます。
ですが・・・
㋑は㋐の立方体をもとに、4つの頂点をふくむ三角すいを切断することで作ることができます。
下の図で、まず頂点A，B，Cを通る面で頂点Pをふくむ三角すいを切断します。
この三角すいの体積はもとの立方体の体積の\(\frac{1}{6}\)です。
引き続き、頂点Q，頂点R，頂点Sをふくむ三角すいを次々と切断すれば、立体㋑の完成です。
ですから㋑の体積は㋐から\(\frac{1}{6}\)の三角すいを4個取り去ることになるので、
1－\(\frac{1}{6}\)×4＝\(\frac{1}{3}\)となります。
㋒は、そのままの立体を㋐の中に作ることができないようです。
ですが、図のように立方体の各面の対角線の交点H，I，J，K，L，Mを結んでできる立体（正八面体）から考えることができます。
６つの点をとなり合った面の点どうし結ぶと、下の図1のような正八面体ができます。
立体㋒はこの正八面体の上半分の立体と相似です。
図2より、1辺の長さは対角線ABの半分で1cm。
ここにできた正八面体の体積はもとの立方体㋐の体積の\(\frac{1}{2}\)×1×\(\frac{1}{3}\)＝\(\frac{1}{6}\)なので、上半分の四角すいは\(\frac{1}{6}\)×\(\frac{1}{2}\)＝\(\frac{1}{12}\)
立体㋒はこの四角すいと相似で相似比は2：1なので、立体㋒の体積は
\(\frac{1}{12}\)×2×2×2＝\(\frac{2}{3}\)となります。
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