東大寺2018年の大問1の⑵を見てみましょう。
問題は次の通りです。
右図の正六角形ABCDEFにおいて，AF上に点Gをとりました。三角形BCGの面積と三角形DEGの面積の比が12：13であるとき，AG：GFを最も簡単な整数の比で答えなさい。
〔1〕準備
三角形ABG＋三角形GEF＝正六角形の\(\frac{1}{6}\)
三角形GCDは正六角形の\(\frac{1}{3}\)
⇒三角形BCG＋三角形DEG＝1－\(\frac{1}{6}\)－\(\frac{1}{3}\)＝正六角形の\(\frac{1}{2}\)
⇒三角形BCG＝\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{12}{12＋13}\)＝\(\frac{6}{25}\)
〔2〕三角形BCGが正六角形の\(\frac{6}{25}\)と分かったので、これを利用する方法を2つ紹介。
(ⅰ)正三角形ABHを追加して考える方法
図のように三角形ABHを追加する。
BC＝BHなので、三角形BCG＝三角形HBG＝\(\frac{6}{25}\)
三角形ABH＝\(\frac{1}{6}\)なので、HG：HA＝\(\frac{6}{25}\)：\(\frac{1}{6}\)＝36：25
⇒ AG：AH＝11：25 しめしめ、これで答えは出せる！GF＝25－11＝14
答えは，11：14 で決まり。
(ⅱ)変化の割合から考える方法
点GがAからFまで動く点と考える。
ア GがAにあるとき、三角形BCG＝\(\frac{1}{6}\)
イ Gが問題の場所にあるとき、三角形BCG＝\(\frac{6}{25}\)
ウ GがFにあるとき、三角形BCG＝\(\frac{1}{3}\)
アイで\(\frac{6}{25}\)－\(\frac{1}{6}\)＝\(\frac{11}{150}\)増える。
イウで\(\frac{1}{3}\)－\(\frac{6}{25}\)＝\(\frac{14}{150}\)増える。
⇒ 以上から、AG：GF＝\(\frac{11}{150}\)：\(\frac{14}{150}\)＝11：14となって答えだ。
（底辺は常にBCで一定なので、この考えが使えるのだ。）
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