東大寺2024年度算数 大問5

「東大寺の算数を解いてみた」シリーズ。
今回は、2024年度入試問題の大問5。
場合の数の問題です。

1から5までの数字が2個ずつ合計10個あります。この10個の数字を，次の規則にしたがって左から横一列に並べます。
〔規則〕どの隣り合う3個の数字も，真ん中の数字が両隣の数字よりも大きいか，
　　　　両隣の数字よりも小さい。
たとえば，
　　　4　5　1　3　2　5　3　4　1　2
という並びはこの規則を満たします。このとき，次の問いに答えなさい。ただし，⑴と⑵は答えのみを解答欄に記入しなさい。

要するに、並んだ数字が、
○↗○↘○↗○↘○↗○↘○↗○↘○↗○
または
○↘○↗○↘○↗○↘○↗○↘○↗○↘○
のようになるイメージですね。
では早速見ていきましょう。

⑴　次の①のように，左から2番目が2，4番目が3，6番目が4，8番目が5であるような数字の並びは1通りだけあります。空欄に入る数字の並びを答えなさい。

　　□　2　□　3　□　4　□　5　□□　…　①

5の前後から、↗と↘を決めます。
　□　2　□　3　□　4　□↗5↘□□
これでほかの数字の前後の↘と↗が決まります。
　□↗2↘□↗3↘□↗4↘□↗5↘□↗□

㋐↗2↘㋑↗3↘㋒↗4↘㋓↗5↘㋔↗㋕　とすると
㋐と㋑は1、㋒は2　(ここまでで1も2も使い切りました)。㋓は3と決まります。
3も使い切ったので、㋔は4、㋕は5と決まります。
答えは、　1　2　1　3　2　4　3　5　45

⑵　次の②のように，左から4番目が4，6番目が3，8番目が2であるような数字の並びはちょうど2通りあります。空欄に入る数字の並びを2通りすべて答えなさい。ただし，解答の順序は問いません。

　　□□□　4　□　3　□　2　□□　…　②

まずは、
○↗○↘○↗○↘○↗○↘○↗○↘○↗○型（X型）か
○↘○↗○↘○↗○↘○↗○↘○↗○↘○型（Y型）か
を決めましょう。可能性はどちらもありそうです。
（X型）の場合。
□↗□↘□↗4↘□↗3↘□↗2↘□↗□
⑴と同様に、□を記号で書きますね。
㋐↗㋑↘㋒↗4↘㋓↗3↘㋔↗2↘㋕↗㋖
㋔と㋕は1と分かります。すると、もう1は使い切ったので、㋓は2（ここで2も使い切った）
㋒は3で、残るは㋐と㋑と㋖で、数字は4，5，5
当然㋑は5、そして㋐は4，㋖は5となりますね。
ひとつ目の答えは、　453　4　2　3　1　2　15

（Y型）の場合。
□↘□↗□↘4↗□↘3↗□↘2↗□↘□
これも□を記号に置き換え。
㋗↘㋘↗㋙↘4↗㋚↘3↗㋛↘2↗㋜↘㋝
㋙と㋚は5で決まり。すると、㋛は4（5と4は使い切った）
㋜は3で、残るは㋗，㋘，㋝で、数字は1，1，2
当然㋘は1、㋗は2となり、最後に残った㋝は1になる。
ふたつ目の答えは、　215　4　5　3　4　2　31

⑶　次の③のように，左から2番目が3，4番目が5，6番目が4，8番目が5であるような数字の並びは全部で何通りありますか。

　　□　3　□　5　□　4　□　5　□□　…　③

5の前後は必ず、↗5↘　なので、↗と↘を記入すると
□↗3↘□↗5↘□↗4↘□↗5↘□↗□
となります。
これを記号を使って書きましょう。
㋐↗3↘㋑↗5↘㋒↗4↘㋓↗5↘㋔↗㋕
㋐と㋑は1か2が入るので、入り方で場合を分けて考えるといいような気がします。
A　(㋐，㋑)＝(1，1)のとき
B　(㋐，㋑)＝(1，2)のとき
C　(㋐，㋑)＝(2，1)のとき
D　(㋐，㋑)＝(2，2)のとき

Aのとき、並びは、1↗3↘1↗5↘㋒↗4↘㋓↗5↘㋔↗㋕
・1↗3↘1↗5↘2↗4↘2↗5↘㋔↗㋕　㋔，㋕は3，4
・1↗3↘1↗5↘2↗4↘3↗5↘㋔↗㋕　㋔，㋕は2，4
・1↗3↘1↗5↘3↗4↘2↗5↘㋔↗㋕　㋔，㋕は2，4
Bのとき、並びは、1↗3↘2↗5↘㋒↗4↘㋓↗5↘㋔↗㋕
・1↗3↘2↗5↘1↗4↘2↗5↘㋔↗㋕　㋔，㋕は3，4
・1↗3↘2↗5↘1↗4↘3↗5↘㋔↗㋕　㋔，㋕は2，4
・1↗3↘2↗5↘2↗4↘1↗5↘㋔↗㋕　㋔，㋕は2，4
・1↗3↘2↗5↘2↗4↘3↗5↘㋔↗㋕　㋔，㋕は3，4
・1↗3↘2↗5↘3↗4↘1↗5↘㋔↗㋕　㋔，㋕は2，4
・1↗3↘2↗5↘3↗4↘2↗5↘㋔↗㋕　㋔，㋕は2，4
Aの1と2を入れかえるとDで、3通り、Bの1と2を入れかえたらCで、6通りなので、
答えは、3＋6＋3＋6＝18通りだろう。

⑷　次の④のように，左から1番目と10番目がどちらも3であるような数字の並びは全部で何通りありますか。

　　　3　□□□□□□□□　3　…　④

この問題は、（X型）か（Y型）かで分けて考えることにしよう。
（X型）　3↗□↘□↗□↘□↗□↘□↗□↘□↗3
使える数字は、1，1，2，2，4，4，5，5です。
次の図のようなイメージで考えましょう。

山になっているところの㋐，㋒，㋔，㋖に4か5を入れて、
谷の部分の㋑，㋓，㋕，㋗に1か2を入れます。
山の部分には㋐，㋒，㋔，㋖の順に、4455，4545，4554，5445，5454，5544の6通り入れ方があります。（₄C₂で求めることができます。）
谷の部分も同様で、6通り入れ方があるので、
4と5が必ず山、1と2が必ず谷になる場合の入れ方は6×6＝36通りあることになります。
問題は5，4，5という並び。これを考えておかないといけません。
・㋐㋑㋒が545になるとき　→　㋔か㋖が2になる2通り
・㋒㋓㋔が545になるとき　→　4は㋐にしか入れられないので1通り
・㋔㋕㋖が545になるとき　→　4は㋐にしか入れられないので1通り
以上から、（X型）の場合は36＋2＋1＋1＝40通り
（Y型）は（X型）が左右入れ替わっただけと考えられるので、同じく40通り
だから答えは、40×2＝80通りとなるでしょう。

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