東大寺2022年度算数 大問1⑶

「東大寺の算数を解いてみた」シリーズ。
2022年度大問1⑶を取り上げます。

下のように，ある規則に従って整数が並んでいます。
31，63，107，163，231，[ア]，[イ]，[ウ]，623，751，……
この[ア]，[イ]，[ウ]を用いて，下の式が成り立っています。ただし，[E]には整数が入り，[A]，[B]，[C]，[D]には連続する4つの整数が入り，小さい順に[A]＜[B]＜[C]＜[D]であるとします。
(1042÷2－[ア])＋(1478÷2－[イ])＋(2022÷2－[ウ])＝(7×8×9×10－[A]×[B]×[C]×[D])÷[E]
※実際の試験問題は[　]ではなく文字を□で囲んでいます。
(ⅰ)　[ア]，[イ]，[ウ]に入る整数をそれぞれ求めなさい。

数列の規則を考えます。
並んでいる数の差は、前から順に32，44，56，68，…です。←㋐
次に㋐の列の差を変えから順に書くと、12，12，12，…
つまり、並んでいる数は「差」が12ずつ増えていると分かりますね。
[ア]＝231＋(68＋12)＝311
[イ]＝311＋(68＋12＋12)＝403
[ウ]＝403＋(68＋12＋12＋12)＝507

(ⅱ)　[A]，[B]，[C]，[D]，[E]に入る整数をそれぞれ求めなさい。

[ア]，[イ]，[ウ]に正しい数を入れて、式の左側を計算します。
(1042÷2－311)＋(1478÷2－403)＋(2022÷2－507)＝210＋336＋504＝1050
だから、(7×8×9×10－[A]×[B]×[C]×[D])÷[E]＝1050
7×8×9×10＝5040
[A]×[B]×[C]×[D]＝☆とすると、[E]は整数なので
「5040－☆」は1050の倍数、つまり、1050，2100，3150，4200のどれかです。
☆は、3990，2940，1890，840
このなかで連続する4つの整数の積になっているものを探します。
それぞれ素因数分解するといいでしょう。
3990＝2×3×5×7×19　　→　不適
2940＝2×2×3×5×7×7　→　不適
1890＝2×3×3×3×5×7　→　不適
840＝2×2×2×3×5×7　→　4×5×6×7でこのとき[E]＝4
以上から、[A]＝4，[B]＝5，[C]＝6，[D]＝7，[E]＝4

大問1の⑴で計算問題がない代わりに、やや面倒な問題が出題されていました。

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