「東大寺の算数を解いてみた」シリーズ。
今回は、2015年度の入試問題から、大問4。
設定がなかなかレアな問題です。
次のような習性を持つ飛ばない虫を何匹か捕まえました。
[習性] 辺で囲まれた図形を底とする水そうに入れられると，入れられた場所から最も遠い頂 点までまっすぐに歩き，頂点に到達すると，そこに巣を作る。
巣から歩き出したときは，その巣が常に自分のいる場所から最も近い頂点となるような範囲だけを動きまわる。
例えば，【図1】のような正三角形ABCを底とする水そうの地点アに虫をおいたときは，頂点Aに巣を作り，その後この虫が動きまわることのできる範囲は図の斜線部分になります。この動きまわることのできる範囲をテリトリーと呼ぶことにします。このとき，次の問いに答えなさい。ただし，虫や巣の大きさは考えないものとします。
⑴ 【図2】のような1辺の長さが12cmの正方形ABCDを底とする水そうの地点イに虫をおいたとき，この虫はどの頂点に巣を作りますか。また，その虫のテリトリーの面積を求めなさい。
ある頂点が他の頂点より近いかどうかは、直感で判断しないこと。
次の図のように、2点A，Bを結ぶ線分の真ん中を通り、その線分と垂直に交わる直線mnが，Aに近いのか、Bに近いのかの境界線になります。
そこで次の図のように境界線を引いて考えるといいでしょう。
辺ＡＤ，ＣＤの真ん中の点を通り、それぞれの辺と垂直に交わる線をかきます。図の色をつけた部分がテリトリーになります。
巣を作る頂点はＤ，テリトリーの面積は6×6＝36cm2です。
⑵ 【図3】のようなＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆの6個の頂点をもつ図形を底とする水そうの地点ウに虫をおいたとき，この虫はどの頂点に巣を作りますか。また，その虫のテリトリーの面積を求めなさい。
ウから一番近い頂点はEですから、頂点Eに巣を作ります。
次に、どちらの頂点に近いかを示す「境界線」を引きましょう。
下の図の太い破線が境界線で、㋐～㋔を記入します。
テリトリーは図の色をつけた部分で、その面積は、6×6÷2×3－3×3÷2×2＝45cm2
⑶ 【図4】のような4つの正三角形をつなげてできたA，B，C，D，E，Fの６個の頂点をもつ図形を底とする水そうがあり，その面積を120cm2とします。これらすべての頂点にそれぞれ1匹ずつ虫をおきました。このとき，各頂点に巣を作った虫それぞれについて，テリトリーの面積を求めなさい。
下の図左のように境界線を引くことができる。
このとき、☆印の三角形の面積は、120÷4÷6＝5cm2になっています。
それぞれの頂点のテリトリーは右図に色付けした通りです。
A：5×4＝20cm2 B：5×4＝20cm2 C：5×2＝10cm2
D：5×8＝40cm2 E：5×2＝10cm2 F：5×4＝20cm2
一見すると複雑そうな問題ですが、条件をしっかり読めば十分理解できて正答できるはず。
合格するためには解けないといけないかも…です。
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