東大寺2023年度算数 大問4

「東大寺の算数を解いてみた」シリーズ。
2023年度の大問4にチャレンジです。
受験生が苦手とする数の問題ですね。受験生だけじゃなくて、ボクもできればやりたくない(;^_^A

次の各問いに答えなさい。
⑴　4けたの整数について，次の性質(P)を考えます。
　性質 (P)　千の位の数を十の位の数，百の位の数を一の位の数とする2けたの整数で割り切れる。
例えば、
　1900＝19×100，1352＝13×104
ですから，1900や1352は性質(P)を満たします。
性質(P)を満たす4けたの整数の中で2023以下のものは全部で何個ありますか。

なかなか面倒くさそうな問題です。
4けたの整数で2023以下なので、1000～2023なのですが、条件に合う数はどんな数、どんな仕組みの数なのでしょうか。ちょっと考えてみましょう。（やみくもに当てはめても正解にたどり着くとは思えません。）
この4けたの数を仮に「ABCD]と表すことにします。
性質(P)を満たすということは、ABCD÷ABが割り切れるということ。
ABCD＝AB×100＋CDですから、
ABCD÷AB＝(AB×100＋CD)÷AB＝AB×100÷AB＋CD÷AB
AB×100÷ABは当然割り切れますから、後半の部分「CD÷AB」が割り切れたらいいということになります。
ABは10，11，12，…，18，19，20
CDは2ケタでそれぞれABの倍数なので、
AB＝10のとき，CD＝00，10，20，…90の10個
AB＝11のとき，CD＝00，11，22，…99の10個
AB＝12のとき，CD＝00，12，24，…96の9個
AB＝13のとき，CD＝00，13，26，…91の8個
AB＝14のとき，CD＝00，14，28，…98の8個
AB＝15のとき，CD＝00，15，30，…90の7個
AB＝16のとき，CD＝00，16，32，…96の7個
AB＝17のとき，CD＝00，17，34，…85の6個
AB＝18のとき，CD＝00，18，36，…90の6個
AB＝19のとき，CD＝00，19，38，…95の6個
AB＝20のとき，CD＝00，20（これ以上は2023を超えてしまいます。）…2個
以上から、答えは、10×2＋9＋8×2＋7×2＋6×3＋2＝79個　
結局すべて調べ上げてしまいました。

⑵　4けたの整数について，次の性質(Q)を考えます。
　性質(Q)　百の位の数を十の位の数，十の位の数を一の位の数とする2けた以下の整数で割り切れる。
例えば、
　6786＝78×87，6076＝7×868
ですから，6786や6076は性質(Q)を満たします。
これらの例のように，千の位と一の位がともに6であり，性質(Q)を満たすような4けたの整数は全部で何個ありますか。

求める整数を「6EF6」としましょう。
6EF6＝EF×10＋6006なので、
6EF6÷EFが割り切れるということは、6006がEFで割り切れるということですよね。
つまり、EFは6006の約数（1けたか2けた）です。
6006＝2×3×7×11×13　（1001＝7×11×13はよく出てきますよ）なので、
6006の1けたまたは2けたの約数は、書き出すのは大変だけど書き出すと
1，2，3，6，7，11，13，14，21，22，26，33，39，42，66，77，78，91
これだけあるので、答えは18個だ。

⑶　4けたの整数について，次の性質(R)を考えます。
　性質(R)　十の位の数を十の位の数，一の位の数を一の位の数とする2けた以下の整数で割り切れる。
最初に2けたの整数を1つ選んで，その整数の十の位の数を千の位の数に，一の位の数を百の位の数とする4けたの整数をつくります。そして，その中で性質(R)を満たすものが何個あるかを考えます。例えば，最初に20を選んだときは，
　2025＝25×81，2008＝8×251
ですから，2025や2008は性質(R)を満たします。

ちょっと読んだだけでは意味が分かりません。
なので、再読（真剣に）、さらに再々読…
ようやく何となく分かったかも。
要するに、ここでは、性質(R)のことと、それとは別に作った数が性質(R)を満たすかどうかということの2つを「分かりづら～く」書き立てているのですね。（何と受験生泣かせな問題）

(i)　上の例のように最初に選んだ2けたの整数が20のときは，性質(R)を満たす4けたの整数を全部で何個つくることができますか。

4けたの整数を「20GH」とでもしましょう。
20GHがGHで割り切れたら、性質(R)を満たすということなんでしょう。
20GH＝2000＋GHなので、2000がGHで割り切れるということです。
つまり、GH（1けたか2けた）は2000の約数です。
2000＝2×2×2×2×5×5×5なので、これも順にあげていくと
1，2，4，5，8，10，16，20，25，40，50，80の12個あります。

(ii)　すべての2けたの整数に対して，性質(R)を満たす4けたの整数がそれぞれ全部で何個つくられるかを考えたとき，その個数は最も少なくて何個ですか。また，そのときに最初に選んだ2 けたの整数を求めなさい。

ある2ケタの数を「IJ」とすると、4けたの整数は「IJGH]となります。
これがGHで割り切れるということは、IJ×100がGHで割り切れるということです。
IJには10～99が入るので、1000～9900の中で、1けたまたは2けたの約数が最も少ないものを選ぶことになります。
100＝2×2×5×5ですから、IJ×100には必ず、1けたか2けたの約数として1，2，4，5，10，20，25，50の8個が含まれています。
もしIJの素因数に5が含まれていても、この8個は変わりません。
ということは、IJ＝5×5＝25としたとき、求められた条件に合うと考えられます。
ですから答えは8個で、選ぶ数は25ということになります。

(iii)　すべての2けたの整数に対して，性質(R)を満たす4けたの整数がそれぞれ全部で何個つくられるかを考えたとき，その個数が(ii)の答えより1個だけ多いような2けたの整数として考えられるものを小さい順に5個求めなさい。

次に考えられるのは、IJに入る数が2ケタの素数です。
しかも、11とか13のように2をかけたり5をかけたりしてまだ2ケタになるようなものは避けたい。
そこで、50以上の最小の素数がいいだろうということになります。（この場合、性質(R)を満たす4けたの整数は9個できるはずです。条件に合っていますよね。）
50以上の素数を小さい順に5個書けば、53，59，61，67，71となります。

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