東大寺学園の2018年度算数入試問題の大問3⑵は、なかなか厄介だ。
図形のまわりを円が転がりながら進むときの、直線部分のみ考える問題。
通常は、180度より小さい角の外側を転がることを考えたらいいのだが、この問題では内側を考えないといけない。厄介だ。
正確な図で考える必要がありそうだ。
図形㋐，図形㋑，図形㋒は1辺の長さが10cmの正三角形をそれぞれ6個，4個，5個合わせてできた図形です。これらの3つの図形と，円Pがあります。円Pを図形㋐の周に沿って離れることなくその外側を一周させたとき，中心が動いてできる線のうちの直線部分の長さと，円Pを図形㋑の周に沿って離れることなくその外側を一周させたとき，中心が動いてできる線のうちの直線部分の長さとの差は1.5cmでした。円Pを図形㋑の周に沿って離れることなくその外側を一周させたとき，中心が動いてできる線のうちの直線部分の長さを求めなさい。
㋐の周囲を円が進むとき、直線部分の長さは10cm×6＝60cm
㋑の周囲を円が進むとき、直線部分の長さは60－1.5＝58.5cm
この部分を詳しく見てみよう。図の赤線部分AB2つ分が短くなった1.5cm
1.5÷2＝0.75cm・・・AB
三角形ABCは30度・60度・90度の直角三角形。
㋒で円の中心が動く直線部分は下の図の三角形DEFのDE×2だけ短くなる。
三角形DEFと三角形ＡＢＣの関係からＤＥの長さを考えましょう。
AC＝AD＝②，AB＝①＝0.75cmより、DE＝2.25cm
㋒で直線部分の長さは、10×7－2.25×2＝65.5cmとなる。
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