大問2は長いなが～い食塩水の問題。問題文がやたら長い。ここで心が折れそうになるのを鼓舞して、さぁ、解くか。
2種類の食塩水PとQがあり，食塩水Pの濃度は食塩水Qの濃度よりも8%高くなっています。次の問いに答えなさい。
⑴ 400gの食塩水Pと600gの食塩水Qを1つの空の容器に入れてよくかき混ぜると，できあがった食塩水の濃度は，食塩水Qの濃度よりも何%高くなっていますか。
ここはてんびんが楽でしょう。
図のようなてんびんの図を描いて考えます。
重さの比は400：600＝2：3なので，支点からのうでの長さの比は3：2 → これを③，②とする
差の③＋②＝⑤が8%より②＝8×\(\frac{2}{3＋2}\)＝3.2%
⑵ 空の容器Aに400gの食塩水Pを入れ，空の容器Bに600gの食塩水Qを入れました。それぞれの容器から120gずつの食塩水を取り出して，容器Aから取り出した食塩水を容器Bに入れ，容器Bから取り出した食塩水を容器Aに入れよくかき混ぜました。このとき，容器Aに入っている食塩水と容器Bに入っている食塩水の濃度の差は何%ですか。
等量交換の問題ですね。
Aの容器はPの食塩水が280g，Qの食塩水が120g，Bの容器はPの食塩水が120g，Qの食塩水が480g入ったことになります。それぞれの食塩水が混ざった様子をてんびんで表すといいですね。
左の図から、⑦＝8%×\(\frac{7}{3＋7}\)＝5.6%
右の図から，1⃣＝8%×\(\frac{1}{4＋1}\)＝1.6%
できあがった食塩水の濃度の差は，5.6－1.6＝4%となります。
ここまでは、問題としてはふつうの難易度で，この程度の問題は確実に正解したいところです。
差がつくのは次の⑶ですかね。
⑶ 空の容器Aに400gの食塩水Pを入れ，空の容器Bに600gの食塩水Qを入れました。それぞれの容器から等しい重さの食塩水を取り出して，容器Aから取り出した食塩水を容器Bに入れ，容器Bから取り出した食塩水を容器Aに入れよくかき混ぜました。2つの容器の食塩水の濃度の差が2%になったとすると，それぞれの容器から取り出した食塩水の重さは何gずつでしたか。考えられるものをすべて答えなさい。
何gの入れかえか分からないので、てんびんだと苦しいかもしれません。
そこで、少しずつ入れかえる量を変化させていく方法を試してみましょう。
ア：30gの入れかえ
Aの容器は Qの濃度＋8%×\(\frac{37}{40}\)＝Qの濃度＋7.4%
Bの容器は Qの濃度＋8%×\(\frac{1}{20}\)＝Qの濃度＋0.4%
⇒7.4－0.4＝7%の差
イ：60gの入れかえ
Aの容器は Qの濃度＋8%×\(\frac{17}{20}\)＝Qの濃度＋6.8%
Bの容器は Qの濃度＋8%×\(\frac{1}{10}\)＝Qの濃度＋0.8%
⇒6.8－0.8＝6%の差
ウ：90gの入れかえ
Aの容器は Qの濃度＋8%×\(\frac{31}{40}\)＝Qの濃度＋6.2%
Bの容器は Qの濃度＋8%×\(\frac{3}{20}\)＝Qの濃度＋1.2%
⇒6.2－1.2＝5%の差
このように30gずつ入れかえる量を変化させていくと、濃度の差が1%ずつ減っていくことが分かります。
120g→4%，150g→3%，そして180gで2%となります。
さらに変化させると、
210g→1%，240g→0%
さらに変化させていくと、今度は差が増えていきます。
270g→1%，300g→2%
以上から、差が2%になるのは180gと300g
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