東大寺2014年度算数 大問1⑷

「東大寺の算数を解いてみた」シリーズ。
今回は2014年度大問1⑷です。
感想は後回し、まずは問題を見てみましょう。

和が190となる4つの整数の組を考えます。4つの整数のうち最も大きな整数と最も小さな整数の差が4以下となるような組は，全部で何組ありますか。

一見簡単そうな問題です。
ですが、「すべて異なる整数」ということではないので、同じ整数が含まれていてもいいということですね。
さて、分け方ですが、まず全員に同じ数ずつわけてから、残った分を差が4以下になるように分ける、というのが一番現実的な気がします。
そこで、190÷4を計算したら、47あまり2なので、
[ア]　1人に47個配って、あと2個を4人のうちの誰かに分ける
[イ]　1人に46個配って、あと6個を4人のうちの誰かに分ける
[ウ]　1人に45個配って、あと10個を4人のうちの誰かに分ける
と考えてみましょう。
ただし、残りを4人で分ける場合は最初の1人は必ず0個としておき、最大でも4個です。
[ア]の場合、分け方は(○，○，○，○)と書くと、
　(0，0，1，1)か(0，0，0，2)の2通り
[イ]の場合、分け方は、
　(0，0，2，4)，(0，0，3，3)，(0，1，1，4)，(0，1，2，3)，(0，2，2，2)の5通り
[ウ]の場合、分け方は、
　(0，2，4，4)，(0，3，3，4)の2通り
以上から、できる組の数は2＋5＋2＝9組

190個すべてを分けることを考えると、すごく面倒になってすべてを数えきれないでしょうから、ここでやったように分ける個数を減らして考えるのが楽ですね。

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