東大寺2025年度算数 大問5

「東大寺の算数を解いてみた」シリーズ。
2025年度入試問題から、大問5の整数を扱う問題です。
一見難しそうに見えますが・・・
ではやってみましょう。

いくつかの整数の和と積が等しくなるような数の組を考えます。

【例】和と積がともに8になるような数の組は2通りあり，それぞれ数の小さい順に並べると，
　　1，1，2，4と1，1，2，2，2
です。
　1，1，2，4について調べてみると，
　　1＋1＋2＋4＝8
　　1×1×2×4＝8
です。
　1，1，2，2，2について調べてみると，
　　1＋1＋2＋2＋2＝8
　　1×1×2×2×2＝8
です。次の問いに答えなさい。
⑴　いくつかの整数の和と積がともに12になるような数の組は3通りあります。それらの組をそれぞれ，例のように数の小さい順に並べなさい。答えのみを解答欄に書きなさい。

12＝2×2×3
1をかける数はあとで調整するとして、まずは12を「かけて12」になる組に分けましょう。
（2個のとき）2×6，3×4
（3個のとき）2×2×3
あとは、それぞれの和が12になるように不足分だけ1を加えます。
1，1，1，1，2，6　　1，1，1，1，1，3，4　　1，1，1，1，1，2，2，3

⑵　いくつかの整数の和と積がともに210になるような数の組は全部で何通りありますか。

210＝2×3×5×7
この2，3，5，7を2組とか3組に分けましょう。1をかける数はあとで調整します。
・(1個)×(3個)
　2×(のこりの数の積)，3×(のこりの数の積)，5×(のこりの数の積)，7×(のこりの数の積)
　→　4通り
・(2個)×(2個)
　4個から2個選んで前の(　)に入れる。ただし、(2×3)×(5×7)と(5×7)×(2×3)のように、前後が入れ替わったものが２個ずつできるので、2でわることを忘れてはいけません。
　₄C₂＝6，6÷2＝3通り
・(1個)×(1個)×(２個)
　前の２個を選ぶといいだけなので、
　₄C₂＝6通り
・(1個)×(1個)×(1個)×(1個)
　これは2×3×5×7の１通り
以上から、4＋3＋6＋1＝14通りあると分かります。

⑶　いくつかの整数の和と積がともに2310になるような数の組は全部で何通りありますか。

2310も素因数分解をやって、何組かの積の形ができるようにしましょう。
2310＝2×3×5×7×11
・(1個)×(4個)
　2×(のこり)，3×(のこり)，5×(のこり)，7×(のこり)，11×(のこり)
　→　5通り
・(2個)×(3個)
　前の２個を選んだらいいので、₅C₂＝10通り
２組に分けるのは以上で、次は３組に分けましょう。
・(1個)×(1個)×(3個)
　これは、前の(1個)×(1個)に入る２個を選んだらいいので、₅C₂＝10通り
・(1個)×(2個)×(2個)
　まず５個の数字から１個選び、残りの４個から２個選びますが、後ろ2つ、(2個)×(2個)の前後が入れ替わったものが２個ずつできるので、2でわることを忘れてはいけません。
　₅C₁×₄C₂÷2＝15通り
３組は以上。次は４組です。
・(1個)×(1個)×(1個)×(2個)
　最後の(２個)だけ選べばいいので、₅C₂＝10通り
最後は5組に分かれるのを選びますが、これは2×3×5×7×11しかないので1通り。
以上から、5＋10＋10＋15＋10＋1＝51通りです。

問題の意味をよく読み取って、丁寧にやれば、東大寺の受験生ならだれでも正解できるような問題な気がします。（でもなかなかそうはいかないのだね。）

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