「東大寺の算数を解いてみた」シリーズ。
今回は2022年度大問2の⑵。
なかなか手ごわそうな問題です。がんばるぞ！
整数を異なる3個の整数の積として表すことを考えます。たとえば，24は，
1×2×12，1×3×8，1×4×6，2×3×4
と4通りの表し方があります。
ふむふむ。何となく問題の方向は分かった気がするが…
では、小問にとりかかりましょう。
(ⅰ) 90を異なる3個の整数の積として表す方法は全部で何通りありますか。ただし，積の順序だけが異なるものは，それらを全部で1通りとして数えます。
1が入っているものから考えていきましょう。
1×2×45，1×3×30，1×5×18，1×6×15，1×9×10の5通り
次は2が最小になるもの
2×3×15，2×5×9の2通り
3が最小になるものは
3×5×6で1通り
あとはないはずなので、5＋2＋1＝8通り
(ⅱ) 20以上の整数Aを，異なる3個の整数の積として表すことはできず，A＋4も異なる3個の整数の積として表すことはできませんでした。このような20以上の整数Aとして考えられるものを小さいものから順に5個答えなさい。
一気に難易度が上がった！とおもいきや、「異なる3個の整数の積」にできないということは、「1×素数」または「1×素数の平方数(素数2)」になっているということ、つまり、Aは素数、または素数2だということですね。そしてA＋4も素数か素数2です。
20以上の素数と素数2を小さい順に書くと、23，25，29，31，37，41，43，47，49，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，…
この中で差が4であるものは、25と29，37と41，43と47，49と53，67と71，79と83が見つかります。
ですから問題にあてはまるAを小さい順に5個書くと、25，37，43，49，67となります。
あやうく「素数2」を見落とすところでした(;^_^A
難しくはないですが、注意深くやらないといけませんね。
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