東大寺2022年度算数 大問4

「東大寺の算数を解いてみた」シリーズ。
今回の問題は2022年度大問4です。
なかなか厄介な問題です。素敵な解き方がないかいろいろ試してはいるのですが、なかなかいい方法は思い浮かびません。（入試本番だと、あれやこれや試す時間がないので、結局書き出しに頼るかなという感じです。）
とりあえずやってみましょう。

整数Nに対して，Nの各位の数の和をS(N)と表します。たとえば，
　　　S(7)　＝　7
　　S(46)　＝　4＋6＝10
　S(1975)　＝　1＋9＋7＋5＝22
です。
整数Nについて，次のような【特性】を考えます。
　　【特性】NはS(N)で割り切れる。
たとえば，S(2022)＝6で，2022÷6＝337より，2022はS(2022)で割り切れます。つまり，2022は【特性】をもちます。
このように，【特性】をもつ整数について，次の問いに答えなさい。

面白そうな条件が付いた問題です。
が、けっこう厄介ですよ。書き出して調べるのでしょうか？
あと、これから考えるのは「【特性】をもつ整数について」ということです。ちょっと気をつけないとですね。

⑴　整数Nは【特性】をもち，1以上2022以下とします。このような整数Nの中で，S(N)＝5となるNは全部で何個ありますか。

この条件は、N÷5が割り切れるということです。
つまり
・Nは5の倍数で、一の位が0か5
また、
・Nの各位の数の和が5
この2つの条件に合う数を、1～2022で探せということですね。
5は単独で5、1＋4、2＋3、1＋1＋3、1＋2＋2、1＋1＋1＋2、とできます（最大でも2022なので4個までで考える）。
これで作れる数を1けたから順に考えましょう。
5，50，500，140，410，1040，1400，230，320，1130，1310，1220，で12個できました。
この問題は数えて調べ上げても楽でした。

⑵　整数Nは【特性】をもち，1以上2022以下とします。このような整数Nの中で，S(N)＝9となるNは全部で何個ありますか。

この条件は、N÷9が割り切れるということです。
つまり
・Nは9の倍数で、9の倍数は「各位の数の和が9で割り切れること」なので、基本的にはS(N)＝9となる数はすべて9で割り切れます。
このことを考えて、1～2022で探しましょう。
➤1けた　9の1個
➤2けた　18，27，36，45，54，63，72，81，90　で9個
　　　　　（以下、18～90のように「表記します）
➤3けた
　1□□　08～80　で9個
　2□□　07～70　で8個
　3□□　06～60　で7個
　4□□　05～50　で6個
　5□□　04～40　で5個
　6□□　03～30　で4個
　7□□　02～20　で3個
　8□□　01～10　で2個
　9□□　900の1個
➤4けた
　10□□　08～80　で9個
　11□□　07～70　で8個
　12□□　06～60　で7個
　13□□　05～50　で6個
　14□□　04～40　で5個
　15□□　03～30　で4個
　16□□　02～20　で3個
　17□□　01～10　で2個
　18□□　1800の1個
　20□□　07，16　で2個
　　
以上で、102個

⑶　整数Nは【特性】をもち，1以上2022以下とします。このような整数Nの中で，S(N)＝18となるNは全部で何個ありますか。

18で割り切れるということは、9の倍数であり、かつ、偶数を探せということです。
このことを考えて、1～2022で探します。
一の位で場合を分けて考えてみましょう。
➤1けた、2けたの数はありません。
➤3けた
□□0　→　990　　　　　…　1個
□□2　→　79，88，97　　　…　3個
□□4　→　59，68，77，86，95　　　…　5個
　　　　　（以下では59～95と表す）
□□6　→　39～93　　　…　7個
□□8　→　19～91　　　…　9個
➤4けた
1□□0　→　89，98　　　…　2個
1□□2　→　69～96　　　…　4個
1□□4　→　49～94　　　…　6個
1□□6　→　29～92　　　…　8個
1□□8　→　09～90　　　…　10個
2□□0　→　ない
2□□2　→　ない
2□□4　→　ない
2□□6　→　ない
2□□8　→　ない

以上から、全部で55個

⑷　整数Nは【特性】をもち，1以上2022以下とします。S(N)の値として考えられるものの中で，大きい方から3番目の値を求め，そのときのNをすべて求めなさい。

この問題に関しては、何かいい方法があるかと思い考えたけど、ボクの頭では思いつかなかった。
とりあえずS(N)の値として考えられるものを一番大きいものからチェックすることにした。
N＝1999のときS(1999)＝28で、1999÷28は割り切れないのは明らかだ。
S(N)＝27になるのはN＝1998，1989，1899，999のときで、1998÷27＝74で割り切れる。【特性】をもつ最大のS(N)は27だ。
S(N)＝26になるNは1997，1988，1979，1889，1898，1799，989，998，899で、調べると1898÷26＝73で1898は【特性】をもつ。
S(N)の値として考えられるものの中で，大きい方から3番目なので、あと少しだ。がんばれ、オレ！
S(N)＝25になるNは1996，1987，1978，1969，1879，1888，1897，1789，1798，1699，979，988，997，889，898，799があるが、どれも25で割り切れないのは明らか。
S(N)＝24になるNは1995，1986，1977，1968，1959，1869，1878，1887，1896，1779，1788，1797，1689，1698，1599，969，978，987，996，879，888，897，789，798，699で、このうち奇数は24で割り切れないのは明らか。
あとはがんばって残りの10個の中から24で割り切れるものを根性で求めよう。
（だって、問題文に「すべて求めなさい」って書いてるからね…）
1968÷24＝82
1896÷24＝79
888÷24＝37
以上3個が見つかったので、やっと答えが出た。
S(N)の値として考えられるものの中で，大きい方から3番目の値は24
そのときのNは、888，1896，1968

最後の最後にぶっ飛んだ問題が出ていた。
これをのぞいたら、他の問題はまずまずいい問題で東大寺らしい出題な気がしたよ。

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