東大寺学園2018年度入試の算数大問3⑴を解こうと思います。
この年の問題の難易度は、ほぼ例年通りという感じですが、その「例年通り」というのが曲者で、けっして簡単ではないのです。解ける問題は解けるし、解けない問題はとけない、という感じでしょうか。
解ける問題を確実に点数にしていくことは不可欠です。
3つの箱A，B，Cと1から300までの整数が1つずつ書かれたカードが300枚あります。これらのカードの中から5の倍数以外の整数1，2，3，4，6，7，8，9，11，……，298，299が書かれたカードを，小さい整数が書かれたカードから順に
箱A || 1 7 8 14 16
箱B || 2 6 9 13 17
箱C || 3 4 11 12
のようにすべて入れます。このとき，箱Bに入っているすべてのカードについて，書かれた整数の平均を求めなさい。
なかなか素敵な問題で、もちろんすべて書き出して平均を求めることは、不可能ではありませんが、やめた方が得策です。何か簡単に求められる方法を考えてみましょう。
5の倍数のない整数が、3行に分けて書かれていますが、実際には6個進んでもとに戻っています。ですから、5と6の最小公倍数30を利用して（実際には30はないのですが）考えてみましょう。
30のところまで表を作ってみます。
箱A || 1 7 8 14 16 22 23 29
箱B || 2 6 9 13 17 21 24 28
箱C || 3 4 11 12 18 19 26 27
この先は、今並んだ数に30たした数，60たした数，90たした数，…，270たした数が並ぶはずです。
最初のセットを①セットとすると、セットは⑩まで続きます。
①の平均は、(2＋6＋ 9＋13＋17＋21＋24＋28)÷8＝15
②の平均は15＋30＝45，③の平均は15＋30×2＝75、…、⑩の平均は15＋30×9＝285
以上から考えると、箱Bの平均は(15＋285)×10÷2÷10＝150となりそうです。
〔別解〕5の倍数は300÷5＝60個あるので、300－60＝240個並ぶはず。
240÷3＝80個で、箱Aも箱Bも箱Cも80個入ります。
箱Bの最後の方の数を後ろから書けば、298，294，291，287，…
箱Bの並んだ数を、先頭と最後，前から2番目と後ろから2番目，前から3番目と後ろから3番目，…と組み合わせていけば、2＋298，6＋294，9＋291，13＋287，…とすべて300になります。
ですから箱Bの合計は300×\(\frac{80}{2}\)＝12000
平均は12000÷80＝150となります。
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