2023年度大問3

3 次の各問いに答えなさい。

(1) 下の図は、1辺の長さが6cmの正方形と，1辺の長さが3cmの正三角形PQRです。図の状態から，正三角形 PQRを正方形の内側に沿いながらすべらせずに回転させていきます。初めて3つの頂点がすべて図の状態に戻るまで回転させたとき，頂点Pが動いてできる線の中で，頂点Pが1回だけ通った部分の長さを求めなさい。

三角形が転がり回転しながら進んでいく様子を、しっかり図で表しましょう。
三角形は正方形の内部を3周してもとの状態に戻ります。
このときの様子を図で表すと次のようになります。

こうやって記入すれば、頂点Pが１回だけ通った部分は次のようになります。

この長さの合計は3×2×π×\(\frac{30＋60}{360}\)×8＝37.68cmになります。

⑵　下の図は，1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHです。図にある12個の点I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R，S，Tは，それぞれ12本の辺の真ん中の点とします。この立方体ABCD-EFGHに含まれる3つの立体X，Y，Zを，
　　Xは8個の点I，J，K，L，Q，R，S，Tを頂点とする直方体，
　　Yは8個の点I，M，Q，P，K，N，S，Oを頂点とする直方体，
　　Zは8個の点J，M，R，N，L，P，T，Oを頂点とする直方体，
とします。

(ⅰ)　XとYが重なっている部分の体積を求めなさい。
(ⅱ)　(ⅰ)で求めた部分とZが重なっている部分の体積を求めなさい。

まずは、X，Y，Zがどんな立体になるか概観しておきましょうか。
左からX，Y，Zです。

(ⅰ)はX，Yの重なった部分の体積です。
上の図の左と真ん中の図を重ねるということです。
できる図形は次のようになります。

底面が正方形IQSKの四角すいを2つくっつけたような八面体になりますね。
6×6×3×\(\frac{1}{3}\)×2＝72cm³です。

これでいいのですが、一気に重ね合わせるという方法では分かりづらいという人も多いと思います。
そこで、違う方法をひとつ紹介します。
次の図のように、Xを面IMNKで切断します。頂点Jの三角すいが切り落とされて、切り口に三角形IKUが出現します。

同様に、Xの頂点L，T，Rでも三角すいを切り落とせば、上に描いたような、底面が正方形IQSKの四角すいを2つくっつけたような八面体ができます。あとはこの体積を求めればいいだけです。

(ⅱ)　八面体とＺの重なる部分ということですが、実際には「正面から見たときの四隅を切り取った体積」と考えると考えやすいと思います。次の図の通りです。

上の図で、頂点I，Q，S，Kの入った、実際には四角すいの部分を切り落とすということです。（図の○で囲んだ部分）。
１つの切り取る部分はもとの八面体の半分の四角すいと相似比が2：1になっています。
体積比は2³：1³＝8：1
6×6×3×\(\frac{1}{3}\)×\(\frac{1}{8}\)＝4.5cm³
これを4個、(ⅰ)の体積から引きます。
72－4.5×4＝54cm³　

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